Aanvankelijk rekenen toen en nu

Adri Treffers –

1. Inleiding

Indien men de deeltjes 4 van Wereld in Getallen (2003/3 en 2010/4) en Getal & Ruimte junior (2017) analyseert, lijkt het wel alsof daarmee twee verschillende vakken worden onderwezen, zo groot is het onderscheid tussen procedureel (P) en conceptueel (C) aanvangsonderwijs. Overigens niets nieuws, ook in de vorige eeuw trof men deze tegenpolen aan in bijvoorbeeld Naar Zelfstandig Rekenen (1955) en Functioneel Rekenen (1958).

De procedurele methode Naar Zelfstandig Rekenen (1955) is directief en eensporig, en werkt met kale sommen zo snel mogelijk naar één efficiënte standaardmethode toe om een type som op te lossen.

Bij 42 – 35 = .. is het ‘horizontale’ rekenrecept 42 – 35 = 12 – 5 = 7. En als de som in ‘verticale’ vorm wordt aangeboden, dient er gecijferd te worden. Deze procedure wordt echter pas in groep 5 geleerd.

Tegenover de honderden kale sommen staan slechts enkele tekstopgaven van het type ‘Aan een boom hangen 42 appels; er vallen 35 af: nu hangen er nog … appels aan.’ Bij al die vraagstukjes gaat het om aftrekken in de zin van er afhalen, en nooit om de ‘afstand’ of het verschil tussen twee getallen bepalen. De titel van de methode is een program: de leerlingen kunnen met behulp van uitgewerkte voorbeelden op de linkerpagina de sommen van de rechterpagina zelfstandig maken, Tempodifferentiatie kan ertoe leiden dat de kinderen na verloop van tijd in verschillende deeltjes werken, en individueel begeleid moeten worden. Maar de leraar kan er ook voor kiezen de klas bij elkaar te houden en het aantal te maken opgaven per leerling variëren.

In de conceptuele methode Functioneel Rekenen (1958) wordt een totaal andere visie op het aanvankelijke rekenonderwijs geschetst.

‘Reeds het jonge kind van de eerste of tweede klas dat met het leren van elementaire bewerkingen als het optellen onder de 100 bezig is, kan hierbij in een situatie komen, waarin verschillende oplossingsmethoden zich voordoen of gevonden kunnen worden. Als voorbeeld moge dienen de optelling van 26 en 38.

Een analyse samen met de kinderen brengt verschillende oplossingsmethoden aan het licht. Immers het antwoord kan langs de volgende wegen (oplossingsmethoden) gevonden worden. Eerst 20 + 30, dan 6 + 8 en ten slotte 50 + 14, òf 26 + 30 en vervolgens 56 + 8, òf 26 + 40 – 2, of 30 + 38 – 4 enz. Het behoeft geen betoog, dat het naast elkaar zetten en vergelijken van deze oplossingsmethoden het inzicht in het optellen onder 100 bevordert.’

De auteurs sluiten met deze visie aan bij de befaamde rekendidacticus Kühnel die de vraag ‘Wer kann es anders?’ een didactische toverstaf noemde. Een ander onderdeel daarvan is de aandacht voor de eigen producties van opgaven bij gesloten, half-open en open vraagstukken, te beginnen in de onderbouw – een van de vernieuwende en gezichtsbepalende aspecten van Functioneel Rekenen. Zo krijgen de leerlingen al in de tweede helft van groep 3 de opdracht zelf sommen bij een gegeven uitkomst te bedenken. De auteurs uit de denkpsychologische school van Kohnstamm spreken in dit verband van verschillende richtingen uit kunnen denken.

2. Actuele methodes in het aanvangsonderwijs

Bij aftrekken zijn de verschillen tussen de genoemde rekenrichtingen zo mogelijk nog scherper dan bij optellen. In het volgende zullen de onderscheiden visies op het aanvankelijke rekenonderwijs aan de hand van het volgende voorbeeld nader worden toegelicht.

Leeftijden vergelijken

Ria is 7 jaar. Haar moeder is 35 jaar en haar vader 42 jaar.

a) Bedenk hierbij enkele rekenvragen en los die op.

b) Maak ook zo’n opgave voor je eigen situatie thuis.

In de procedurele methode Getal & Ruimte junior zal op directe wijze naar de drie leeftijdsverschillen worden gevraagd. Volgens de Uitleg worden in het geval van 35 en 42 de getallen eerst op de met 100 streepjes gevulde getallenlijn geplaatst met een vraagteken boven het boogje tussen 35 en 42.

‘Wat moet er berekend worden? – het verschil.

Hoe bepaal je het verschil? – door  aftrekken.

Het antwoord is 42 – 35 = 12 – 5 = 7. ‘

Kritische kanttekening: deze manier om vanaf 42 sprongsgewijs met 40 en 5 terug te rekenen staat haaks op de te berekenen afstand tussen 37 en 42 die met een ‘?’ op de lijn staat aangegeven.

Daar komt nog bij dat de volle getallenlijn een tel-lijn is en geen geschikte lijn voor structurerend rekenen, zoals de (deels) lege getallen lijn dat wel is. En wat te denken van het terugrekenen-op-zich, los van de getallenlijn, bij zo’n simpele doortelsom als 42 – 37 =   .?

Ook bij het verschil berekenen van 42 – 5 gaat de berekening via afhalen tegen de contextsituatie in. Nu is terugrekenen handiger dan aanvullend optellen, hoewel dat ook betrekkelijk vlot gaat. Dus rijst de vraag wat te doen.

Het conceptuele antwoord laat zich raden: kies voor een tweesporige aanpak. Want daarmee bevorder je zowel het handige rekenen als de toepasbaarheid. Voor een en ander kan de betreffende leeftijdssom als contextmodel fungeren.

Geoefende rekenaars zijn zich vaak niet bewust van de twee min-interpretaties van respectievelijk afhalen en verschil bepalen. Voor sterke rekenaars van groep 4 is ‘42 – 37’ net zo makkelijk als ‘42 – 5’. Maar voor het overgrote deel van de kinderen die volgens een eensporige procedurele aanpak wordt onderwezen, blijkt dit niet zo. Die kinderen behalen eind groep vier een goedscore van ruim 80 % bij ‘42 – 37’ en van slechts 40 % bij ‘42 – 5’ ! Terwijl deze opgaven bij een tweesporige benadering even goed worden opgelost, zo wijzen verschillende onderzoeken uit. [3] [4] [5] [7]

Om verwarring over de tweezijdige interpretatie van aftrekken te voorkomen is hier weer de didactische toverstaf beschikbaar. Die bestaat uit twee delen: (1) het laten maken van eigen producties en (2) het laten controleren van de uitkomst via optellend terugrekenen, uitgebeeld met een relatieboogje ⌒  dat het =-teken overspant.

Opdracht a) van de leeftijdssom is een voorbeeld van een open opgave. Die kan worden uitgebreid met de algemene opdracht om zelf kale aftreksommen met een uitkomst van bijvoorbeeld 7 te bedenken.

Opdracht b) is een voorbeeld van een levensecht probleem. De opgaven die de leerlingen inbrengen, vormen een sommenreservoir waaruit de gehele groep kan putten.

3. Directieve en interactieve werkvormen

Vanuit de didactische driehoek ‘leerling-leraar-leerstof’ bezien zijn de verschillen tussen de genoemde rekenrichtingen exact aan te wijzen. Bij P hebben de leerlingen niets in te brengen – het leerboek en de leraar bepalen de loop van de leergang. Bij C is de inbreng van de leerlingen juist essentieel: zij bepalen mede de loop van de tweesporige leergang en de variatie in de oplossingen daarbinnen. De leraar kan aan de toverstaf ‘Wie kan het anders?’ andere vragen verbinden, zoals ‘Wat is de handigste manier hier?’ en daarnaast eigen producties, (half-) open opgaven en levensechte opdrachten aanbieden.

Vanuit het leerboek en de leraar bezien is bij P de didactische volgorde ‘ik-(wij)-jij’. In de conceptuele methodes C is de didactische cyclus bij probleem-oplossen ook weer ‘ik-(wij)-jij’, maar nu vanuit de leerling bezien. De speelruimte voor zowel de leraar als de leerling is hier veel groter. Men kan als leraar en schoolteam een conceptuele methode grotendeels naar zijn hand zetten. Bij een procedurele methode zitten zowel de leraar als de leerling letterlijk en figuurlijk aan de directieve methodiek vast.

Literatuur

1), Getal & Ruimte junior (2017). Noordhoff: Groningen.

2). Huitema, S. e.a. (2003/2010). De Wereld in Getallen. Den Bosch: Malmberg.

3). Klein, A.S. (1998). Flexibilization of mental arithmetic strategies on a different knowledge base. (diss.) Utrecht, Freudenthal Instituut.

4). Menne, J. (2001). Met sprongen vooruit. Een productief oefenprogramma voor zwakke rekenaars in het getallengebied tot 100 (diss.). Utrecht: Freudenthal Instituut.

5). Reijnders, J. & J. Snijders (1959). Functioneel Rekenen. Handleiding. Amsterdam: Versluys.

6). Selter, Ch. (1994). Eigenproductionen im Arithmetik unterricht (diss.). Wiesbaden: Deutsche Universitätsverlag..

7). Treffers, A. (2015). Weg van het cijferen. Rekenmethodes vanaf 1800 tot heden. Freudenthal Group, Universiteit Utrecht. reni.casoli@gmail.com

 8). Zandvoort, R.; H. Venekamp & N. Kuipers (1955/1970). Naar Zelfstandig Rekenen. Groningen: Wolters Noordhoff.

adri.treffers@gmail.com