Blog
Curriculum.toen (1) – Richtingen in het traditionele rekenonderwijs
Adri Treffers –
Overzicht
Critici van het huidige rekenonderwijs gebruiken de term ‘traditioneel rekenonderwijs’ als een didactische richting die zich met name door de nadruk op regelgeleid rekenen en cijferen duidelijk van het huidige rekenonderwijs onderscheidt.
In het volgende zal echter worden aangetoond dat deze procedurele typering van het traditionele rekenen eenzijdig is, omdat daarmee de zogenoemde conceptuele stroming binnen het traditionele rekenonderwijs over het hoofd wordt gezien – een stroming die vanaf de oorsprong van de rekenmethodes in 1875 tot de dag van vandaag mede het beeld van Nederlandse rekenonderwijs bepaalt. Anders gezegd: het huidige rekenonderwijs past in de traditie van een hoofdstroom binnen het Nederlandse rekenonderwijs en heeft daar een specifieke invulling aan gegeven – waarover later meer.*)
1. Inleiding
In 1875 verscheen in Nederland de eerste complete rekenmethode, te weten ‘Rekenonderwijs’ van Jan Versluys, tevens de grondlegger van de Nederlandse rekendidactiek. De leerstof van deze methode bepaalde tot omstreeks 1950 in grote lijnen het leerplan van het rekenonderwijs op de basisschool. Daarbij dient men wel onderscheid te maken tussen het normale leerstofprogramma voor het lager onderwijs (‘de volksschool’) en het uitgebreide programma ter voorbereiding op (het examen van ) het middelbaar onderwijs.
Het basisprogramma bestond uit de rekenonderdelen: hoofdrekenen, cijferen met hele getallen en kommagetallen, opereren met breuken, procentrekenen, evenredigheden, plus toepassingen van een en ander via redactiesommen. Onderdelen van meten waren: metriek stelsel, en omtrek, oppervlakte, inhoud van bepaalde vlakke en ruimtelijke figuren.
Het uitgebreide programma bevatte: ontbinden in factoren, kenmerken van deelbaarheid, gemene delers en veelvouden, omrekenen van vreemde valuta, en de zogenoemde denk- en vormsommen. En daarnaast soms ook nog: priemgetallen, andere talstelsels, de negenproef, het algoritme van worteltrekken en uitbreidingen van breukrekenen (met samengestelde breuken en kettingbreuken).
Pas na 1950, toen de wijze van toelating tot het middelbaar onderwijs geleidelijk aan werd gewijzigd, verdwenen zowel de traditionele denksommen als de kolossale vormsommen geleidelijk en werd de leerstof van het uitgebreide programma grotendeels geëlimineerd.
De eerste methode die daartoe de aanzet gaf, was Geef Acht! van Rombouts (1949) waarin geschrapt werden:
- ontbinden in factoren, g.g.d. en k.g.v.
- repeterende en samengestelde breuken, en recepten voor het opereren van breuken
- grote vormsommen en denksommen;
- en waarin het metrieke stelsel werd beperkt tot gangbare maten.
Vanaf die tijd ontwikkelde het rekenonderwijs zich meer dan ooit tevoren in twee duidelijk onderscheiden categorieën: de procedurele en de conceptuele richtingen.
2. Twee hoofdrichtingen
Eerst kunnen dan kennen, is het adagium van de procedurele rekenmethodes. De leerstof staat daarin centraal. Het is zaak om de rekenstof nauwkeurig uit te lijnen, dat wil zeggen, te splitsen in moeilijkheden; elk onderdeel wordt tot in de kleinste details uiteengerafeld. Aan herhaling wordt veel aandacht geschonken: oefening baart kunst en kunde. Aan inzicht als basis voor het inoefenen, zoals in het geval van de tafels bijvoorbeeld, wordt weinig waarde toegekend. Het gaat allereerst om het memoriseren van rekenfeiten, het automatiseren van bewerkingsschema’s en het herkennen van somtypen bij het maken van toepassingen.
De procedurele aanpak is eensporig, regelgeleid en werkt zo snel mogelijk naar één efficiënte standaardmethode toe om een bepaald somtype op te lossen. Toepassingen komen pas aan het eind van de leergang aan bod, en dan nog maar in bescheiden mate. Handig, flexibel (hoofd)rekenen en schattend rekenen staan niet op het programma. De standaardrecepten van het cijferen voor de vier basisbewerkingen met gehele getallen, kommagetallen en breuken, worden achtereenvolgend na groep 4 ingeoefend. Daaraan voorafgaand worden voor het rekenen tot tien, twintig en honderd de bewerkingen eveneens volgens een vast voorschrift uitgevoerd, te beginnen bij het ‘splitsen bij tien’ voor het optellen onder de twintig. Ook in het aanvankelijke rekenen is er geen of weinig aandacht voor levensechte rekensituaties.
De conceptuele rekenmethodes verschillen op vrijwel alle genoemde aspecten van de procedurele methodes. De leerstofopbouw is niet zo sterk geatomiseerd. Aan inzicht wordt ook bij het aanleren van rekenfeiten en procedures veel waarde toegekend. Mede om deze reden komen niet meteen de meest verkorte vormen van de cijferalgoritmen aan bod. Toepassingen staan, als basis voor de begripsvorming, al aan het begin van de leergangen. Getalinzicht, flexibel (hoofd)rekenen en soms ook schattend rekenen krijgen, naast het cijferen, een centrale plaats. Kinderen worden in de gelegenheid gesteld om binnen het kader van welomschreven doelstellingen, zelf opgaven te ontwerpen, methoden te ontwikkelen en op hun eigen niveau te werken. En tot slot: de relaties tussen de vier basisoperaties en tussen de leerstofdomeinen van verhoudingen, breuken, procenten en meten worden hecht verankerd.
Uiteraard zijn er ook bepaalde methodes waarvan verschillende leergangen vaak elementen van beide bevatten. De rekenboeken van deze tussencategorie noemen we hier duale methodes.
Tot 1970 beheersten de procedurele methodes de onderwijsmarkt, daarna konden ook duale en conceptuele methodes een substantieel marktaandeel verwerven.
3. Voorbeeldmethodes
Hoezeer de onderscheiden procedurele en conceptuele methodes ten aanzien van hoofdrekenen, cijferen en praktische toepassingen verschillen, zal in het volgende aan de hand van enkele leerboeken worden toegelicht.
Functioneel Rekenen van Reijnders& Snijders (1958) dat een reken-didactische uitwerking gaf aan de denkpsychologische grondbeginselen van Kohnstamm, legt veel nadruk op:
- het belang van het klassikaal (na)bespreken van de verschillende oplossingsmethoden voor kale sommen en ( levensechte) opgaven;
- het zelf produceren van sommen in gevarieerde vormen, zoals het bedenken van sommen bij een gegeven uitkomst, of een passend vraagstukje bij een gegeven kale som, of een vraag formuleren bij een vraagloos vraagstuk;
- de kracht van visuele modellen zoals de getallenlijn, tabellen en stroken, bij het oplossen van problemen;
- de waarde van het schattende rekenen voor het globaal bepalen of controleren van de uitkomst van een berekening, en vooral ook als didactisch middel ten dienste van het precieze uitrekenen.
Over (hoofd)rekenen en cijferen wordt opgemerkt:
Zolang er niet vlot uit het hoofd gerekend wordt, dient men zich met het cijferen niet te haasten, aangezien het eerste steun moet bieden aan het tweede en eraan moet voorafgaan. In alle leerjaren moet het hoofdrekenen dan ook een belangrijke plaats innemen. Begint men te vroeg met cijferen dan staat dit het inzicht in de getallen en de te leren cijferbewerkingen in de weg.’
Als voorbeelden van eigen producties worden genoemd:
- Zelf sommetjes bedenken bij een gegeven getal, zeg 72;
- Een vraagstukje ontwerpen met 40 + 25, of 40 – 22, of 7 x 6, of 24 : 6 als oplossing;
- Een vraag formuleren bij een opgave als ‘Zus koopt in een fruitwinkel 6 appels van 5 c per stuk en 8 peren van 7 c per stuk; ze heeft 1 gulden’.
- Het gevarieerd oplossen van een opgave als
‘Moeder koopt bij de groenteboer:
1 bloemkool voor 4 dubbeltjes = c
2 kroppen sla van 1 kwartje = c
Samen voor c
Zij betaalt 1 gulden. Zij krijgt terug … c
Met welke geldstukken kan de winkelier dat teruggeven?’
Vernieuwend is de inzet van visuele modellen zoals de getallenlijn, de (breuken)cirkel, het honderdveld, tabellen, stroken en grafieken – wat in de rekenmethodes uit de periode vóór 1950 slechts spaarzaam gebeurde.
Nieuw Rekenen van Bruinsma et al. (1969) hanteert eveneens de term functioneel rekenen. Flexibel (hoofd)rekenen is in deze methode niet alleen een doel op zich, maar fungeert tevens als didactisch middel om getalbegrip, inzichtelijk rekenen en toepasbaarheid te bevorderen. Zes voorbeelden uit deeltje 4b voor groep 6 over vermenigvuldigen, laten zien hoe dit basisconcept concreet gestalte krijgt.
1. Bereken:
5 x 98 = 5 x 90 + 5 x 8 =
maar ook 5 x 100 – 5 x 2 =
en ook de helft van 10 x 98=
2. Bereken op verschillende manieren.
7 x 98 4 x 98 12 x 25
3. Bereken op de eenvoudigste manier.
6 x 94 8 x 97 28 x 29
4. Maak zelf sommen.
Om een weiland staat een hek.
Het weiland is lang 120 m, breed 80 m.
5. Maak 5 vermenigvuldigingen.
De uitkomst is steeds 450,
6. Eerst schatten.
9 x ¦ 3,75 = 85 x ¦0,97 =
Opgave 1 zet kinderen op het spoor van het handige rekenen dat in opgave 2 toegepast kan worden. In opgave 3 komt bij 28×29 het cijferen in beeld.
De overgang van splitsend en van kolomsgewijs naar cijferend rekenen zou volgens de Handleiding, in enkele lessen, bij vermenigvuldigen als volgt kunnen verlopen:
In (a) en (b) wordt kolomsgewijs met positiegetallen gerekend. In (c) wordt de overgang naar het rekenen met positiecijfers gemaakt, wat eerder ook al bij het optellen en aftrekken gebeurde. Daarbij worden de posities van de enen, tienen en honderden eerst door munten (centen, dubbeltjes, guldens) voorgesteld.
Deze functionele methode bevat vele en gevarieerde toepassingsopgaven, die soms in een thematische reeks staan, bijvoorbeeld over winkelen, kassabonnen, buitenlands geld, treinreizen en afstanden in Europa. De gesloten, half-open en open opdrachten passen in de leergangen die op dat moment aan de orde zijn: het zijn toepassingen van wat eerder puur getalsmatig is geleerd.
In dit opzicht onderscheidt de methode zich van Rombouts’ Geef Acht! (1949, p.29) die stelt:
‘Het vraagstuk, het echte rekenprobleem, sta aan het begin, sta insgelijks aan het einde. Men gaat er van uit om de becijfering inhoud te geven, en men keert er telkens naar terug, daar alles ook voor de leerlingen een doel moet hebben. Niet eerst ‘rekenen’ en later ‘toegepast rekenen’, maar tezamen, verbonden’.
Deze methode kenmerkt zich voorts door de nadruk op flexibel (hoofd)rekenen, praktische toepasbaarheid, eigen producties en zoals gezegd, versobering van de leerstof.
Dit laatste werd, wat de denksommen en metrieksommen betreft, in Nederland overigens pas definitief gerealiseerd toen begin jaren ’70 de Cito-eindtoets de rol van het toelatingsexamen v.o. overnam.
Naar Zelfstandig Rekenen van Zandvoort et al (1953). In deeltje 5 van deze procedurele methode, bedoeld voor de eerste helft voor groep 5, staan 750 kale aftreksommen, waarvan 250 cijfersommen ‘onder elkaar’, en 10 tekstopgaven. Alle cijferprocedures worden receptmatig geïntroduceerd. Dat gaat bij 72 : 3 in de toelichting voor de leerling als volgt.
Breuken, procenten en verhoudingen worden eveneens directief via dergelijke uitgewerkte voorbeelden aangeboden.In deze methode staan redactiesommen, waarvan de context zwak of irrelevant is.
Zes potjes jam à ¦ 1,75; hoeveel kosten die samen?
Zeven potloden à 40 cent; hoeveel kosten die samen?
Film: Ans koopt zeven kaartjes à 50 cent; zij betaalt … cent.
De verwijzingen naar de winkel en de film doen in feite niet ter zake. Het gaat hierbij om ‘open’ termen die door andere vervangen kunnen worden zonder dat daarmee de structuur van de opgave wezenlijk verandert. De contexten fungeren als vernisje voor een rekensom. Aan de volgende opgave is dat te zien:
Willem van Oranje stierf in 1584.
Hij werd 51 jaar.
In welk jaar werd hij geboren?
Hierbij staat als antwoord 1584 – 51 = 1533.
Daaruit blijkt eens te meer dat dit vraagstuk slechts een aankleding is van een vooropgestelde rekensom: de geboortemaand wordt niet in het antwoord betrokken – de redactiesom is geen contextopgave. Een contextopgave, zoals de eerder genoemde winkelsom, wordt vanwege zijn centrale probleemstelling binnen het thema winkelen door de kinderen als zinvol ervaren. In deze procedurele methode ontbreken zulke opgaven.
4. Verschil in opbrengsten
Uit peilingsonderzoek van het Cito in 1997 (Janssen et al., 1999) blijkt dat de conceptuele methode Nieuw Rekenen op alle 23 onderdelen van rekenen, meten en meetkunde beter scoort dan de procedurele methode Naar Zelfstandig Rekenen. De verschillen zijn echter meestal klein. Alleen bij basisoperaties, hoofdrekenen, schattend rekenen, toepassingen van de basisbewerkingen en procenten, bedragen ze ongeveer 10 procentpunten. Dit zijn echter wel precies de onderwerpen met een hoge praktische waarde, waaraan met name door ouders en leraren basisonderwijs groot gewicht wordt toegekend. (Ahlers, 1987).
5. Conclusie
‘Traditioneel rekenen’ is geen welbepaalde didactische richting. Critici van het huidige rekenonderwijs die de rekentraditie in ere willen herstellen, geven daar een invulling aan die historisch bezien niet klopt. Neem het eenvoudige tafelbestek uit Schmeier (2017, p.10):
‘Binnen het rekenonderwijs bestaan er twee opvattingen over hoe rekenonderwijs eruit zou moeten zien, Aan de ene kant bevindt zich het realistische rekenen, dat uitgaat van ontdekkend leren met gebruik van verhaal- en contextsommen. Aan de andere kant staat het traditionele rekenen met de leerkracht die kennis overdracht en leerlingen bijvoorbeeld flink de tafels laat stampen’.
De eerste traditionele methode, Versluys (1875), kiest namelijk nadrukkelijk voor een geleidelijke en inzichtelijke opbouw van de tafels en niet voor stampen Na vermenigvuldigen als herhaald optellen, volgt verkorting via de ‘natuurlijke’ rekenwijzen van kinderen:
- halveren (5 x 7 is de helft van 10 x 7)
- benutten vijf- en tienstructuur (9 x 7 = 10 x 7 – 7; en 6 x 7 = 5 x 7 + 7)
- en van rekenstrategieën als verwisselen (5 x 7 = 7 x 5) en splitsen (7 x 6 = 7 x 5 + 7; en 7 x 6 = 6 x 6 + 6).
Ook bij hem is het einddoel dat de leerlingen de tafels uit het hoofd kennen. Op de weg daar naartoe hebben ze echter tal van eigenschappen leren inzien, die ze in het vervolg bij het hoofdrekenen kunnen inzetten.
Van Pelt (1878) verwoordt een dergelijke aanpak in zijn methode zo:
‘Geen verstandig onderwijzer zal hier vragen, of de leerlingen op deze wijze het vlugst de tafel leeren. Hij zal begrijpen, dat het hoofddoel van ons onderwijs ontwikkeling moet zijn, ontwikkeling door doen en zelf zoeken. Hij zal spoedig opmerken, dat deze wijze van werken zoo’n invloed op de leerlingen heeft, dat ze later zelven, vooral bij het hoofdrekenen, dezen weg opgaan.’ (p.15)
In de best presterende landen van de wereld – waar flexibel rekenen, begrip, inzicht en praktische toepassingen leidend zijn – wordt het memoriseren van de tafels in aanzet ook op de aangeduide wijze onderwezen, niet via stampen.
Hetzelfde geldt voor het belangrijkste kenmerk dat aan het traditionele methodes wordt toegekend, te weten ‘één methode per bewerking’. Ook daarvan is, zoals we zagen, bij de traditionele, conceptuele methodes geen sprake.
*) Zie voor een uitgebreide analyse van de twee hoofstromen: Leen (1961) en Treffers (2015).
Referenties
Ahlers, J. (1987). Grote eensgezindheid over basisonderwijs. School, 15, 4, p. 4-10.
Bruinsma, B. (red.) (1969). Nieuw Rekenen. Algemene Inleiding. Baarn: Bosch en Keuning
Janssen, J., F. van der Schoot, B. Hemkes & N. Verhelst (1999). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 3. Arnhem: Cito.
Leen, A. (1961). De ontwikkeling van het rekenonderwijs op de lagere school in de 19e en het begin van de 20ste eeuw. Groningen: Wolters.
Pelt, D. van (1896/2). Handleiding bij De Nieuwe Rekencursus (eerste stukje). Tiel: Mijs.
Reijnders, J. & J. Snijders (1959). Functioneel Rekenen. Handleiding. Amsterdam: Versluys.
Rombouts, S. (1948). Geef Acht! Nieuwe Rekencursus voor de Handleiding voor derde en volgende leerjaren. Tilburg: R.K. Jongensweeshuis.
Schmeier, M. (2017). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Pica & Pelckmans Pro.
Treffers, A. (2015). Weg van het cijferen. Rekenmethodes vanaf 1800 tot heden. Freudenthal Group, Universiteit Utrecht. reni.casoli@gmail.com
Versluys, J. (1875). Rekenonderwijs. Groningen: Versluys.
Zandvoort, R.; H. Venekamp & N. Kuipers (1955/1970). Naar Zelfstandig Rekenen. Groningen: Wolters Noordhoff.
adri.treffers@gmail.com